Một số dạng toán cơ bản về dao động điều hòa

 1. Kiến thức nền tảng:

– Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kỳ dao động là S = 4A.

– Quãng đường mà vật đi được trong  chu kỳ dao động là S = 2A.

– Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = A.

– Chiều dài quỹ đạo: 2A.

2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của chuyển động tròn đều.

Xét một vật chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A và tốc độ góc là ω. Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí điểm M0 và tạo với trục ngang một góc φ. Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí điểm M và góc tạo với trục ngang là (ωt + φ). Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang là OP có độ dài đại số .

Khi đó ta nói hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động điều hòa.

* Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công cụ rất mạnh” trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời gian trong dao động điều hòa. Không chỉ giới hạn trong phạm vi của chương Dao động cơ học này mà ở các chương về Dao dộng điện từ hay Dòng điện xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của nó. Và việc hiểu để áp dụng được là một yêu cầu cần thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh các bài toán.

3. Các dạng bài toán cơ bản:

Dạng 1: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2

Cách giải :  Chúng ta sử dụng ứng dụng của hình chiếu dao động điều hòa vào chuyển động tròn đều. Các bước thực hiện như sau :

– Xác định các vị trí x1 và x2 trên trục quỹ đạo.

– Tính các góc φ1, φ2 với        thỏa mãn (0 ≤ φ1, φ2 ≤ π)

– Thời gian ngắn nhất cần tìm là: 

* Ví dụ điển hình :

Ví dụ 1 :  Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 8s, tính thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí  đến vị trí có li độ

Hướng dẫn giải :

Ta có tần số góc:

Vậy thời gian ngắn nhất mà vật đi từ đến  là  .

Ví dụ 2 :

Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ là A. Tìm thời gian ngắn nhất mà vật đi từ vị trí:

a. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí x = A.

b. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí .

c.  đến vị trí x = A.

Hướng dẫn giải :

Thực hiện các thao tác như ví dụ 1 chúng ta có:

a.

b.

c.

NHẬN XÉT : 3 Trường hợp trên là những trường hợp phổ biến nhất trong các kỳ thi và hầu như các bài toán lớn hơn thì biến đổi đều đưa về 3 trường hợp trên. Từ đó chúng ta cần ghi nhớ công thức:

Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = A hoặc x = -A và ngược lại thì

Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí  hoặc và ngược lại thì 

Khi vật đi từ vị trí đến vị trí x = A hoặc  đến x = -A và ngược lại thì

Dạng 2: Tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2.

Cách giải : Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật dựa vào việc giải các phương trình lượng giác sau:

 (v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)

Phân tích: Δt = t2 – t1 = n.T + T/2 + T/4 + t0 (n ЄN; 0 ≤ t0 < T/4)

– Quãng đường đi được trong thời gian n.T + T/2 + T/4 là S1 = n.4A+ 2A + A

– Ta tính quãng đường vật đi được trong thời gian t0 là bằng cách sau:

• Tính li độ x1 và dấu của vận tốc v1 tại thời điểm

• Tính li độ x2 và dấu của vận tốc v2 tại thời điểm t2

• Nếu trong thời gian t0 mà vật không đổi chiều chuyển động (v1 và v2 cùng dấu) thì quãng đường đi được trong thời gian cuối t0 là S2 = |x2 – x1|

• Nếu trong thời gian t0 mà vật đổi chiều chuyển động (v1 và v2 trái dấu) thì để tính quãng đường đi được trong thời gian cuối t0 ta phải biểu diễn chúng trên trục tọa độ rồi tính S2. Từ đó quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2

CHÚ Ý :

+ Nếu Δt = T/2 thì S2 = 2A

+ Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox

+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn.

+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2 với S là quãng đường tính như trên. Ví dụ điển hình :

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Tính quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên.

Hướng dẫn giải: Quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên tức là tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động. Như vậy chúng ta phải thay t = 0 vào phương trình li độ và phương trình vận tốc để kiểm tra xem vật bắt đầu đi từ vị trí nào và theo chiều nào.

Ta có :

Tại t = 0 :

Vậy vật bắt đầu đi từ vị trí x = – 1cm theo chiều dương. Ta lại có

Quãng đường vật đi được là S = 5.4A+ 2A = 22A = 44cm.

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Tính quãng đường vật đi được trong 2,25s đầu tiên.

Hướng dẫn giải:

Cách 1 : (Sử dụng phân tích) Ta có :  ; (s) Quãng đường vật đi được trong 2s đầu tiên là S1 = 4A = 16cm.

– Tại thời điểm t = 2s :

– Tại thời điểm t = 2,25s :

Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối là S2 = .

Vậy quãng đường vật đi được trong 0,25s là S =

Cách 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều).

Tương tự như trên ta phân tích được Δt = 2,25s = T + 0,25(s)

Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S1 = 4A = 16cm

Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối. Trong thời gian 0,25s cuối thì góc mà vật quét được trên đường tròn bán kính A = 4cm là Độ dài hình chiếu của vật chính là quãng đường đi được. Độ dài hình chiếu này là .

Từ đó ta cũng tìm được quãng đường mà vật đi được là S =

Dạng 3: Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < Δt < T/2.

Cách giải:

NHẬN XÉT : Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên. Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn để để giải bài toán. Góc quét Δφ = ωΔt.

• Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 1)

• Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)

CHÚ Ý : + Trong trường hợp Δt > T/2

Tách:

Trong đó:

Trong thời gian quãng đường luôn là n.2A

Trong thời gian Δt’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.

+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian Δt:

 và với Smax; Smin tính như trên.

Ví dụ điển hình :

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ là T. Tìm quãng đường:

a. Nhỏ nhất mà vật đi được trong .

b. Lớn nhất mà vật đi được trong .

c. Nhỏ nhất mà vật đi được trong .

Hướng dẫn giải :

a. Góc mà vật quét được là :

Áp dụng công thức tính Smin ta có:

b. Góc mà vật quét được là:

Áp dụng công thức tính Smax ta có: 

c. Do  Quãng đường mà vật đi được trong  luôn là 2A. Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong  chính là quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong . Theo câu a ta tìm được quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong  là .

Vậy quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong  là

Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T. Tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất và tốc độ trung bình lớn nhất của vật trong .

Hướng dẫn giải : Góc quét

Dạng 4: Bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian Δt. Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x0.

Cách giải:

* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt + φ) cho x = x0 Lấy nghiệm ωt + φ = α với  ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc ωt + φ = -α ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)

* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó Δt giây là:

  hoặc

Ví dụ điển hình :

Một vật dao động điều hòa với phương trình:

a. Biết li độ của vật tại thời điểm t là 4cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,25s

b. Biết li độ của vật tại thời điểm t là – 6cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,125s

c. Biết li độ của vật tại thời điểm t là 5cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,3125s

Hướng dẫn giải:

4. Bài tập tương tự luyện tập

Bài 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Gọi M và N là hai biên của vật trong quá trình dao động. Gọi I và J tương ứng là trung điểm của OM và ON. Hãy tính vận tốc trung bình của vật trên đoạn từ I tới J.

Bài 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ là A và chu kỳ T. Tìm:

a) Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong .

b) Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong .

c) Tốc độ trung bình lớn nhất mà vật đi được trong .

Bài 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 = 1,5s đến t2 =  là bao nhiêu?

Bài 4: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ A. Hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có ly độ:

a) x1 = A đến x2 = A/2

b) x1 = A/2 đến x2 = 0

c) x1 = 0 đến x2 = -A/2

d) x1 = -A/2 đến x2 = -A

e) x1 = A đến x2 = A

f) x1 = A đến x2 = A

g) x1 = A đến x2 = -A/2

Bài 5: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm có chu kỳ dao động T = 0,1s.

a) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có ly độ x1 = 2cm đến x2 = 4cm.

b) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1 = -2cm đến x2 = 2cm.

c) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x =2cm.

About dinhtrisps

dinhtrisps.wordpress.com
This entry was posted in Dao động. Bookmark the permalink.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s